Friday, July 17, 2015

Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar "Matemaatika õhtuõpik"

Ei juhtu just tihti, et keegi nii möödaminnes ja käega rehmates kirjaoskamatust tunnistab. Keegi ei jäta lugemist ja kirjutamist õppimata, sest tal lihtsalt pole selleks annet. Selleks, et keskmise inimese tasemel lugema ja kirjutama õppida, tuleb... õppida ja harjutada. Minu meelest on sama matemaatikaga. Inimeste jagamine neiks, kel on matemaatilist taipu ja neiks, kel pole, on väga halb mõte. Nii tekib isetäituv ennustus: suur hulk inimesi saab varakult koolis teada, et nende asi polegi kunagi matemaatikast aru saada ja nii nad siis ei saagi. Minu meelest on see hirmus kaotus meile kõigile. Kuid aitab mõõdukalt teemavälisest nukrutsemisest, sest kirjutama pidin ma hoopis "Matemaatika õhtuõpikust", ilmselt kõige populaarsemast eestikeelsest matemaatikaraamatust, mis seni ilmunud.

Õhtuõpiku reklaamlause võiks vist olla "451 hooandjat ei saa eksida!", sest just nii palju inimesi Hooandjas selle teose sündi rahaliselt toetas. (Kogutud  13000+ eurot tegi sellest tollal edukaima Hooandja projekti, ei tea, kas pärast on seda üle trumbatud või mitte.) Huvi raamatu vastu on olnud nõnda suur, et kui ma ei eksi, siis praegu saadaolev väljaanne on juba viies (parandatud) trükk. Väga põhjalikult ma ei otsinud, aga meediakajastust sirvides ei jäänud mulle ühtegi negatiivset kommentaari silma. Kõik on sillas olnud. Muidugi, põhjust on: lõpuks ometi ema- ja inimkeelne raamat, mis seletab hädas õpilasele või teadmisi värskendavale täiskasvanule gümnaasiumi matemaatikat. Tänuväärne ja tore! 

Mind isiklikult ei huvita matemaatika seos igapäevaeluga, mistõttu see osa õpikust mind nii väga ei erutanud. Küll aga suutis õhtuõpik seletada mulle seoseid erinevate matemaatikateemade vahel. Minu mäletamist mööda käis keskkoolis matemaatika õppimine nii, et tuli õppida lahendama teatud sorti ülesandeid. Mis seos neil teiste ülesannete või teemadega olla võis, polnud kas jutuks või jäi mulle arusaamatuks. Ma arvan, et ma võisin vabalt tuletisi võtta, mõtlemata kordagi selle peale, et tuletis - see on funktsiooni hetkelise muutumise kiirus. Puhtalt õhtuõpiku teene, et mu peakeses nüüd mõni selline seos juures on!

Kuna head on selle raamatu kohta niigi kirjutatud, tahtsin vahelduse mõttes kirja panna ka mõne kriitilise märkuse. Esiteks on see õpik minu meelest liiga pikk, tervelt 408 lk. Mitte et paksudel raamatutel midagi viga oleks, aga see õpik jättis mulle toimetamata mulje (kuigi seda on toimetatud küll). Ma kujutan täiesti ette, mis tunne võis autoreid kirjutades vallata. Nii palju põnevat matemaatikat, mida tahaks südamelt ära kirjutada ja kogu maailmaga jagada! Õpikut tehti oma kolm aastat, nii et vaevalt lõpuks kaante vahele jõudnu see esimene kirjapandu oli, aga mulle tundus, et see võinuks kuidagi tummisem ja läbimõeldum olla. (Sest vaadake, millegi pikalt seletamine ei tee seda alati lihtsamaks.) Muide, mis toimetamisesse puutub, siis on kõigil lugejatel olnud võimalus teada anda õpikust leitud vigadest (need on kirjas siin). Muidugi, tegijail juhtub, aga ühes õpikus ei tohiks minu meelest nii palju vigu olla. Kui õpikut oleks toimetatud sellise põhjalikkusega, et lugejatel poleks pärast nii palju vealeidmisrõõmu olnud, oleks äkki tekst tervikunagi lõpetatum tundunud.

Mis mind veel häiris, oli mõne keerulisema kontseptsiooni seletamine nii, et lauset alustati sõnaga lihtsustatult või tõepoolest, samas kui järgnev teoreem suurem asi lihtsustus polnud. See on nagu sohitegemine. Mõtlesin, et võibolla oleks matemaatika- ja informaatikatargale lisaks pidanud meeskonda võtma ka kellegi, kes on hea kirjutaja...

Vaatamata virinale sain õhtuõpikust, mida sellest otsisin: häälestuse matemaatikalainele ja mõne uue seose, mille abil keskkooli matemaatika kordamine lihtsam võiks olla. Pärisõpiku asendamist õhtuõpik ei taotle ja seda ta ka ei tee, sest selgeks saab kõik ikkagi palju ülesandeid lahendades, neid aga õhtuõpikus praktiliselt pole. Lõppude lõpuks on see muidugi vajalik ja hea raamat, aga praegu on see minu meelest omas nišis parim peamiselt seetõttu, et sel pole ühtegi konkurenti.

Wednesday, July 01, 2015

Paul Hoffman "The Man Who Loved Only Numbers"

Tundub, et varsti võin blogile uue nime panna: Kohustuslikult Vabatahtlik Elulookirjandus. Viimase aasta jooksul postitatust kajastab ligi ⅔ (auto)biograafiaid või muud sorti dokumentaalkirjandust. See tekitab mus segaseid tundeid, sest normaalne kirjandusehuviline võiks või õieti justkui peaks huvi tundma ilukirjanduse vastu. Aga ometi on elulugudel oma võlu, vähemalt kümnendikul neist. Täheldasin blogi arhiivis sobrades, et loovisikute elude lood on mind üsna külmaks jätnud (Patti Smith, Rainer jancis, Marie Under (see oli muidugi naljanumber) jmt). Küll aga oli ütlemata huvitav ja õpetlik lugeda Johannes Aaviku päevaraamatut, samuti nautisin paar aastat tagasi väga Paul Ariste mälestusteraamatut ja ekspeditsioonipäevikuid. Täna kirjutan teile ungari matemaatiku Paul Erdősi elu(tööd) käsitlevast raamatust, Paul Hoffmani (nii palju Paule kahe lause kohta!) teosest “The Man Who Loved Only Numbers”. Selle lugemine oli samuti imeline elamus, mistõttu järeldan, et edaspidi peaksin loovisikute memuaaridele eelistame lugusid teadlaste eludest. 

1986. aastal tutvustas matemaatik Ron Graham teadusajakirjanikku ja muidu mitmekülgsete huvidega meest Paul Hoffmani matemaatik Paul Erdősile. Erdős rändas tollal mööda maailma ringi ja peatus lühiajaliselt eri matemaatikute juures, et 19 tundi päevas matemaatikaga tegeleda. Hoffman uuris välja, kelle juurde ta parasjagu minemas on ja ilmus ise sinnasamma kohale, et Erdősiga kaasas tolkneda. Hoffman pidas oma rännakutel päevikut ja avaldas selle põhjal kirjutatud loo The Atlanticus. See lugu oli ütlemata menukas, pälvis palju tähelepanu ja tunnustust. Hoffman jätkas Erdősi sabas tilpnemist kuni viimase surmani 1996. aastal. Selle ja Erdősi kaasautorite intervjuude põhjal valmiski 1998. aastaks raamat “The Man Who Loved Only Numbers”.

Niisiis räägib "The Man Who Loved Only Numbers" matemaatikust Paul Erdősist. Aga see ei ole elulooraamat, mis algab objekti sünniga, jätkub kujunemisaastatega ja lõpeb surmaga. Puhtalt Erdősist tundus olevat võibolla 40% teosest, ülejäänu oli matemaatikast ja matemaatikutest, nii antiikaegsetest kui tänapäevastest, aga peamiselt Erdősi kaasaegsetest. See kõik oli nii kohutavalt põnev ja seda ütlen mina, kes ma viimati üksteist aauksestat tagasi riigieksamil matemaatikaga kokku puutusin. Ma ei olnud humanitaarias tegutsejana vist enne üldse mõelnudki, milline ilu ootab ees reaalteadustesse minevaid inimesi. Läksin veidi kadedakski! Kui TÜs saaks matemaatikat kaugõppes õppida, oleks ma end vist poole raamatu peal õpingutele kirja pannud, ausalt! (Mõistan, et sellist masti vaimustumine millestki, millest ma tegelikult midagi ei tea, on infantiilne, aga see on samas nii tore, et vahel ma ikka luban seda endale!)

Kuid lubage, ma kirjutan teile Erdősist, sest ta on nüüd mu lemmikteadlane nr 2 Paul Ariste järel. Alustan Erdősist kui inimesest ja isiksusest ning jätkan temast kui matemaatikust.

Paul Erdős – inimene ja isiksus

Paul Erdős sündis Budapestis 1913. aastal. Ta vanemad olid mõlemad matemaatikaõpetajad ja ta ise ilmutas juba väikese lapsena matemaatikaannet. Koolis käis ta vaid episoodiliselt, sest ta ema kartis, et poeg saab teistelt lastelt mingi nakkushaiguse. Niisiis õpetas teda peamiselt koduõpetaja. Doktorikraadi sai ta Budapesti ülikoolist, kuid juba 1934. aastal läks ta Manchesteri, sest selleks ajaks oli Ungarist saanud semifašistlik riik ja ühel juudil oli parem sealt lahkuda. Kunagi hiljem ta elus paikne ei olnudki, ta reisis alatasa ringi, peatudes oma sõprade matemaatikute pool sageli vaid nädalaks. Ta elas väga vaba elu: ta ei abiellunud, tal polnud lapsi, ta ei sidunud end pikemalt ühegi ülikooliga. Tal polnud õieti kodugi, maistest asjadest rääkimata (tavaliselt reisis ta kahe pooltühja kohvri või kilekotiga). Oma rahagi jagas ta sageli nende vahel, kel seda rohkem vaja oli. 
“Some French socialist said that private property is theft,” Erdős recalled. “I say that private property is a nuisance.”
Erdős ei olnud idiot savant ja vaevalt keegi tal Aspergeri oleks diagnoosinud (ometi on millegipärast YouTube'is tema nime otsides tulemuste seas palju pealkirju, mis mainivad Aspergeri). Ta oli kummaline selles mõttes, et ta oli argitoimetustes täiesti saamatu. Enne Inglismaale minemist polnud ta ise võidki leiva peale määrinud. Samuti kirjeldab Hoffman väga ilmekalt, kui kohutav külaline Erdős olla võis, küll ujutas ta süüdimatult vannitoad üle, küll ajas võõrustajad hommikul kell neli kastrulite klopsimisega üles. Aga ma arvan, et selles küsimuses tuleb pigem ta ema kui ta enda poole vaadata, sest ema oli see, kes kõik ette ja taha ära tegi. Samas ei mõtle ma sellega, et ema otseselt milleski süüdistama peaks. Erdős oli oma emaga väga lähedane kuni viimase surmani välja (ja edasigi).

Kuigi Erdős oli sellises igapäevases sfääris saamatu ja põhjustas sellega oma võõrustajatele sageli peavalu, oli ta inimeste vastu väga lahke ja heatahtlik. Kuidagi eriti tähelepanelik oskas ta olla inimestega, kes olid nõrgemad või abitumad. Ei oska ühe omaduse alla neid koondada, kuid toon näiteid. Näiteks matemaatik Vera Sós meenutas, et kui Erdős Ungaris käis, külastas ta esimestel päevadel matemaatikute leskesid ja emasid. Samuti sai ta lastega hästi läbi ja hoolis neist väga, eriti osavõtlikult suhtus ta oma matemaatikutest sõprade laste käekäiku. 1945. aastast oli Hoffmani raamatus selline olukord, et sattunud kord Erdős mingile peole, kus olid ka matemaatikud, kes temaga tutvust tahtsid teha. Kohe peo alguses haihtus aga Erdős eiteakuhu. Peo lõpus selgus, et ta oli maja ülemisel korrusel juttu ajanud peoperemehe pimeda isaga, kes seal nõnda üksik oli.

Et nüüd mitte liiga sentimentaalseks muutuda, tutvustan teile ka üht Erdősi olemuse kummalisemat sorti külge. Kõik sai alguse 1930. aastatel, kui Ungaris oli pead tõstmas antisemitism. Noored matemaatikud said tollal pargis kokku ja arutasid oma matemaatikaküsimusi, samas kartsid, et iga hetk võidakse tulla ja hakata küsimusi esitama, sest Horthy diktatuuri all olid rahvakogunemised keelatud. Sel ajal asus Erdős oma sõnavara täiendama kõikvõimalike koodnimetustega. Kommunistide asemel hakkas ta rääkima inimestest “pikal lainepikkusel”, sest elektromagnetlainete spektris on punased lained ülejäänutest pikemad (või tuleb seda nüüd kuidagi teisiti väljendada, ma ei mäleta füüsikast eriti midagi). Horthy toetajad ja muud fašistid olid jällegi "lühikesel lainepikkusel". See oli alles algus, sest varsti hakkas ta igasuguseid muid asju teiste nimedega nimetama. (Panen siia ingliskeelsed koodnimetused eestikeelsete tähendustega, sest raamatust lugesin ma ingliskeelseid ja muidu läheks mul kõik keeled segamini.)
epsilon – laps (sest epsilon tähistab matemaatikas tavaliselt väikest hulka)
epsilon squared – lapselaps
poison – alkohol
noise – muusika
slaves – mehed
bosses – naised
Joe – USSR
Sam – USA
the Sam and Joe show – rahvusvahelised uudised
Supreme Fascist – jumal
Supreme Fascist ehk lühidalt SF väärib pikemat tutvustust. Miks nimetada jumalat fašistiks? Sest “With so many bad things in the world, I’m not sure that God, should He exist, is good”. Erdős ei olnud usklik, jumalaküsimuses võis teda vist agnostikuks pidada, aga tal oli sellegipoolest SF kohta palju ütlemist.
“I’m not qualified to say whether or not God exists,” Erdős said. “I kind of doubt He does. Nevertheless, I’m always saying that the SF has this transfinite Book – transfinite being a concept in mathematics that is larger than infinite – that contains the best proofs of all mathematical theorems, proofs that are elegant and perfect.” 
Nii et kui mingi tõestus oli imeliselt elegantne, ütles Erdős: “It’s straight from the Book.” Erdősil oli ka nägemus mängust, mida SF inimestega mängib.
“The game of life,” Erdős often said, “is to keep the SF’s score low. If you do something bad in life, the SF gets two points. If you don’t do something good that you should have done, the SF gets one point. You never score, so the SF always wins.”
Ma arvan, et tal läks selles mängus päris hästi. Aga põhiline eesmärk on elus muidugi tõestada ja oletada (to prove and conjecture).

Erdősi puhul oli veel märkimisväärne ta töövõimekus, mis säilis ta surmani. Oli üsna tavaline, et ta töötas ööpäevas 19 tundi ja eeldas, et teised sama jaksaksid (tavaliselt ei jaksanud). Kui alguses kasutas ta stimulandina vaid kohvi, siis millalgi tuli mängu ka Benzedrine. Ma ei ole kindel, aga ma arvan, et amfetamiine hakkas ta kasutama umbes siis, kui ta ema suri (see juhtus vist 1970. aastate alguses). Kusjuures, Hoffmani artikli, millel raamat suuresti põhineb, vaatas üle ka Erdős ise. Ta pidas kõike õigeks ja ei teinud muid etteheiteid peale selle, et autor mainis ta amfetamiinilembust, kuna nii võib noortele ekslikult jääda mulje, nagu see aitaks tippmatemaatikuks saada (kas aitab või ei aita, on juba omaette küsimus...). On sellega nagu on, tahtsin mainida üht juhtumit 1979. aastast. Ron Graham vedas Erdősiga 500$ peale kihla, et too on sõltlane ja ei suuda kuu aega oma amfetamiinideta olla. Erdős võitis kihlveo, olles nii tõestanud, et ta pole sõltlane, kuid ütles Grahamile, et selle kuu jooksul oli ta nagu igasuguste originaalsete mõteteta tavaline inimene, kes ei suutnud matemaatikat teha: “You’ve set mathemathics back a month”. Oli seda nüüd vaja, eksole?! Või oli?

Paul Erdős – matemaatik

Aga pelgast ekstsentrilisusest jääb väheks, et ajalukku minna. Ma ei kirjutaks temast siin, kui ta ei oleks olnud väga märkimisväärse tähtsusega matemaatik. Esiteks panustas ta kvalitatiivselt eri matemaatikaharude arengusse, aga ma ei suuda seda siin täpsemalt teile tutvustada, sest pole mõtet teha nägu, nagu ma neist valdkondadest midagi aru saaks. Küll aga saan ma aru tema elutöö kvantitatiivsest mõõtmest. Esiteks oli ta tulemuslik teadlane alates täisealiseks saamisest kuni surmani välja. Üsna haruldane, sest ma nagu ma teada sain, peetakse matemaatikat pigem nooremate inimeste teaduseks. Tänu pikale ja intensiivsele karjäärile on ta ajalukku läinud kui üks viljakamaid matemaatikuid üldse, võrreldav ehk vaid Leonhard Euleriga. Erdősilt ilmus umbes poolteist tuhat artiklit, millest enamik olid kirjutatud kellegagi koos.

Koos kirjutamise eripära on samuti üks joon, mis ta matemaatikuelu läbis. Ta ei olnud kade, teda huvitas, et hüpoteesid ja oletused saaksid tõestatud, saagu au osaks talle või kellelegi teisele. Tuleb välja, et see on üsna haruldane omadus (vt ka Andrew Wiles ja kuidas ta kaheksa aastat salaja ja üksi Fermat' suurt teoreemi tõestas). Erdős töötas samaaegselt paljude probleemide kallal koos paljude teiste matemaatikutega. Kui ta parasjagu kamba matemaatikutega füüsiliselt ühes kohas polnud, helistas ta neile kõikjale üle maailma. Kõigi telefoninumbrid olid tal muidugi peas. Peter Winkler, kes temaga 20 aastat koos töötas, ütles, et vaevalt Erdős nende matemaatikute eesnimesid teadis. Ainus inimene, keda Erdős olevat eesnime pidi kutsunud, oli Tom Trotter ja teda kutsus Erdős Billiks!

Selline komme tingis ühel hetkel selle, et mõeldi välja kontseptsioon "Erdősi number". Matemaatik, kes oli Erdősiga koos artikli kirjutanud, sai numbri 1. Kes oli kirjutanud artikli inimesega, kel oli Erdősi number 1, sai endale numbri 2 jne. Hoffmani raamatu andmetel on Erdősi number 1 tervelt 485 inimesel!

Tasub mainida, kuidas see koos töötamine Erdősil ka käis. Arvuteoreetik Richard Guy ütles, et Erdős oli "problem poser par excellence". Palju inimesi oskab küsida küsimusi, mis on kas triviaalselt lihtsad või vastupidi, võimatult keerulised. Erdős oskas tabada, mis on õige raskusastmega küsimus. Lisaks teadis ta, milliseid küsimusi milliseid inimeselt küsida. Nii käis ta ringi, suhtles matemaatikutega ja kui keegi oli omadega jännis, oskas Erdős küsida just paraja raskusastmega õige küsimuse, mis jännisolija uuesti ree peale aitas ja talle õige suuna kätte näitas.

Mida muud lahedat ma teada sain?

Mulle meeldis Hoffmani raamatu juures see, et ta polnud keskendunud ainult Erdősile ja tema rollile matemaatikas, vaid tutvustas lugejale ka ülejäänud matemaatikailma ning seda kõike jõukohases võtmes, kuid samas mitte lugejat idioodiks pidades. (Ilmselt tuleb tänada asjaolu, et ta on küll mitmekülgselt tark, aga pole ise matemaatikaharidusega.) Mõnes mõttes võiks selline raamat panna matemaatikapõlguri valemites ja teoreemides ilu nägema, kuid teisest küljest võib see mõnes süvendada tunnet, et matemaatikal pole tegeliku eluga mingit pistmist. Teisest küljest just see matemaatika matemaatika enda pärast hakkas mulle lugedes kangesti meeldima (nii palju, kui ma aru sain).

Samas puudutas Hoffman ka küsimust, millised probleemid on väärt nendega tegelemist. Võib ju leida igasuguseid reeglipärasusi, kuid kui need millegi muuga seotud pole, ei pruugi neil erilist mõtet ega ilu ollagi. Näiteks Pythagoras uuris täiuslikke numbreid, need on arvud, mis võrduvad nende tegurite summaga. Näiteks 6 tegurid on 1, 2 ja 3 (6 ise ei loe) ning 1+2+3=6. Aga mis edasi? Ausalt öeldes ma ei mäleta, kas tuli midagi edasi, aga just sellised tähelepanekud tekitavad küsimusi, mis toredus neis on. Kuid võtame sellise Leonhard Euleri valemi nagu eπi + 1 = 0. Mingisugusel valemite missivõistlusel sai just see valem esimese koha ja tõepoolest, kas pole ilus viis ühte valemisse kokku panna e, i ja π. Ma ei saa sellest muidugi midagi aru, mul hakkab pea ringi käima ainuüksi i kui sellise peale mõeldes, aga seda lahedam, et selline valem olemas on. Ise ei tuleks küll selle peale, millised seosed ühendavad neid sürreaalselt arusaamatuid tähti ja numbreid!

Ja lõpetuseks paar sõna Monty Halli dilemmast. LÕPUKS OMETI SAIN SELLEST ARU ja aitäh Paul Hoffmanile selle eest! Kui mitmel peol on seda kellelegi seletatud ja lõpuks saab enamik aru, aga mina pole saanud. Nüüd saabus siis see tund, kus minu ajukegi asjale pihta sai. Niisiis, mida teeksid sina sellises olukorras? Oled mängusõus. Su ees on kolm ust: ühe ukse taga on auto, kahe ukse taga on kits. Sa saad valida ukse. Ütleme, et valid ukse nr 1 (aga veel ei saa teada, mis ukse taga on). Saatejuht, kes teab, millise ukse taga on auto, avab veel ühe ukse (nt ukse nr 2) ja selle taga on kits. Sul on nüüd valik: kas jääda selle ukse juurde, mille sa alguses valisid (uks nr 1) või mõelda ümber ja valid ukse nr 3? Kummal juhul on tõenäosus võita suurem? Selline küsimus esitati kunagi ühele ebasümpaatsele matemaatikakolumnistile Marilyn vos Savantile. Ebaintuitiivne vastus ajas marru ka professionaalsed matemaatikud, kes arvasid, et vos Savant lugejatele pada ajab. Mis on lahendus? Uurige selle kohta Wikipediast.
“In a way,” Erdős said, “mathematics is the only infinite human activity. It is conceivable that humanity could eventually learn everything in physics or biology. But humanity certainly won’t ever be able to find out everything in mathematics, because the subject is infinite. Numbers themselves are infinite. That’s why mathematics is really my only interest.”

Cambridges kohtus Erdős ekstsentrilise ja tähtsa matemaatiku G. H Hardyga. Hardyl olid väga mitmekülgsed huvid, nagu näha ühelt uusaastalubadustega täidetud postkaardilt, mille ta sõbrale saatis:: “(1) To prove the Riemann hypothesis; (2) make 211 not out in the fourth innings of the last Test Match at the Oval; (3) find an argument for the nonexistence of God which shall convince the general public; (4) be the first man at the top of Mount Everest; (5) be proclaimed the first president of the U.S.S.R. of Great Britain and Germany; and (6) murder Mussolini.”

Silt Ron Grahami endise kabineti uksel: “Anyone who cannot cope with mathemathics is not fully human. At best he is a tolerable subhuman who has learned to wear shoes, bathe, and not make messes in the house.”

Erdős tegeles kord ühe imelapsega, keda mingis vanuses hakkasid tüdrukud segama matemaatika tegemisel. Ta küsis, miks on nii vähe tüdrukmatemaatikuid. “Suppose the slave children would be brought up with the idea that if they are very clever, the bosses will not like them. Would there be then many boys who do mathematics?”

Erdősi 70. sünnipäeval ütles Ernst Straus: “Einstein often told me that the reason he chose physics over mathematics was that mathematics is so full of beautiful and attractive questions that one might easily waste one’s powers in pursuing them without finding the central questions. In physics he had the ‘nose’ for the central questions and he felt that it was the chief duty of the scientist to pursue those questions and not let himself be seduced by any problem – no matter how difficult or attractive it might be. Erdős has consistently and successfully violated every one of Einstein’s prescriptions. He has succumbed to the seduction of every beautiful problem he has encountered – and a great number have succumbed to him. This just proves to me that in the search for truth there is room for Don Juans like Erdős and Sir Galahads like Einstein."